Tích phân suy rộng với phần lẻ

[Justin]

Với mỗi số thực $x$, ký hiệu $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ là phần lẻ của $x$.

1. Tính tích phân $I =\displaystyle{ \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\left\{ {\frac{x}{{1 - xy}}} \right\}} } dxdy}$.
   
   
2. Chứng minh rằng $\displaystyle{\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {{{\left\{ {\frac{x}{{1 - xy}}} \right\}}^n}} } dxdy = {\int\limits_0^1 {\left\{ {\frac{1}{x}} \right\}} ^n}dx}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]