Một bà i ánh xạ

[pega94]

Cho em hỏi về một cách chứng minh bài toán sau Đề bài: Cho $f $ song ánh $X\rightarrow Y $ . Cho g là ánh xạ ngược của $f $. Hỏi g có toàn ánh hay không
Lời giải: Bây giờ định nghĩa như sau Cho ánh xạ $f: X\rightarrow Y $ và $g: Y\rightarrow X $ khi đó nếu $gof=id_X $ thì $g $ gọi là ngược trái của $f $, còn $f $ là ánh xạ ngược phải của $g $. Ngoài ra nếu $fog=id_{Y} $ thì ta nói g là ngược đối với $f $ và ngược lại $f $ là ngược với $g $ Chúng ta sẽ đi chứng minh 3 điều sau

Điều thứ nhất: Một ánh xạ có ngược trái khi và chỉ khi nó là ánh xạ đơn ánh
Bây giờ giả sử: $f:X\rightarrow Y $ có ánh xạ ngược trái là $g:Y\rightarrow X $ như vậy thì $gof=idX $.
Do vậy mà $x\in X $, ta có: $(gof)(x)=x $ Giả sử như : $f(x)=f(x') $. Khi đó ta có: $x'=(gof)(x')=g[f(x')]=g[f(x)]=x $ suy ra f là đơn ánh

Ngược lại, giả sử $f $ đơn ánh. Ta chứng tỏ $f $ có ánh xạ ngược trái
Chọn $x_0\in X $ và xác định một ánh xạ $g: Y \rightarrow X $như sau: $g(y)=\left\{\begin{matrix} x if y=f(x)\\ x_0 if y\notin Imf \end{matrix}\right. $
Khi đó $(gof)(x)=g(f(x))=x $$\Rightarrow gof=id_X $(*)
Chứng minh phần thứ 2: Một ánh xạ có ngược phải khi và chỉ khi nó có toàn ánh

Giả sử như $f $ có ánh xạ ngược phải thế thì $y\in Y $ do $fog=id_Y $, ta có:

$y=(fog)(y)=f(g(y)) $

Đặt $x=g(y) $ ta có $y=f(x) $, nghĩa là $f $ toàn ánh(**)

Từ (*) và (**) suy ra ánh xạ mà có ánh ạ ngược tức là có ngược trái và ngược phải thì sẽ song ánh( vừa đơn ánh vừa toàn ánh). Bây giờ chứng minh một tính chất nữa Nếu ánh xạ $f: X\Rightarrow Y $ có ánh xạ ngược trái $g $ và ánh xạ ngược phải là $h $ thì $g=h $. Ánh xạ ngược ấy là duy nhất kí hiệu là $f $ và người ta gọi là $f^{-1} $ mà trong bài toán là $g $ Chứng minh: từ giả thuyết ta có: $g=goid_{Y}=go(foh)=(gof)oh=id_Xoh=h $ Điều này chứng tỏ $h=g $ nên:

$gof=id_Y $ và $fog=id_X $

Cái này chứng tỏ $f $ là ngược của $g=f^{-1} $. Do vậy mà $f^{-1} $ cũng là hàm song ánh và $f=g^{-1}=(f^{-1})^-1 $ Do đó $g $ là hàm ngược của $f $ và song ánh nên $g $ toàn ánh
Lời giải này có đúng ạk
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]