Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope

  Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


 
02-02-2018, 03:04 PM   #1
hung.vx
+Thành Viên+
 
: Oct 2017
: 36
: 0
Bài toán đóng mở $2018$ tủ của $2018$ học sinh.

Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
 
06-02-2018, 08:36 AM   #2
muaxl2xo
+Thành Viên+
 
: Jan 2018
: 12
: 0
:
Có $2018$ học sinh lần lượt đi qua một hành lang có $2018$ cái tủ đang đóng được đánh số từ $1$ đến $2018$. Học sinh đầu tiên mở tất cả các tủ. Học sinh thứ $2$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $2,4,...,2018$. Học sinh thứ $3$ thay đổi trạng thái đóng mở của các tủ được đánh số $3,6,9,...,2017$. Và cứ tiếp tục như thế, học sinh thứ $i$ đi qua sẽ thay đổi trạng thái đóng mở của tất cả các tủ được đánh số là bội của $i$. Hỏi sau khi $2018$ học sinh đi qua thì còn bao nhiêu tủ vẫn còn đóng?

Kosovo Mathematical Olympiad 2018
Tủ n sẽ có số lần tác động = số ước của n. chẳng hạn tủ 36 sẽ bị tác động bởi các học sinh 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Luôn có 2 ước tầm thường là 1 và n. Nếu có 1 ước trong khoảng (1; căn(n)) thì cũng có 1 ước tương ứng với nó trong khoảng (căn(n); n).
Vậy nếu n ko là số chính phương thì số ước của n luôn là số chẵn, do đó trạng thái cuối cùng của tủ n sẽ là đóng.
Nếu n là số chính phương thì số ước của n là số lẻ nên trạng thái cuối cùng của tủ là mở.
Các số chính phương từ 1 đến 2018 là k.k với 0 < k < 45 nên có 44 số.
Vậy tóm lại cuối cùng sẽ có 2018 - 44 = 1974 tủ đóng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
 
07-02-2018, 03:14 AM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
 
: Feb 2009
: Ho Chi Minh City
: 2,413
: 2,165
Có một câu hỏi vui cho bài toán này.

Với số tủ là $n$, gọi $f(n)$ là số tủ mở.

Chứng minh rằng với mọi $m \ge 3$ nguyên dương thì tồn tại đúng ba số nguyên dương $n$ để $n=m \cdot f(n)$.

Bài này mình ngẫu hứng chế ra khi cho các bạn học trường Đông Titan HN 2016 làm một bài tương tự bài tủ đóng - mở ở trên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
 


« | »







- -

Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 46.13 k/50.69 k (9.00%)]