Đếm số toà n ánh

[congbang_dhsp]

Cho tập $E$ có $n$ phần tử, tập $F$ có $m$ phần tử. Có bao nhiêu ánh xạ toàn ánh từ $E$ vào $F? \,\ (n \ge m)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tantinh89]

Cho tập $E$ có $n$ phần tử, tập $F$ có $m$ phần tử. Có bao nhiêu ánh xạ toàn ánh từ $E$ vào $F? \,\ (n \ge m)$

Một hàm toàn ánh
$f:N \to M $ được đếm bằng cách thực hiện hành động H "tạo ra hàm toàn ánh" bao gồm 2 giai đoạn
${H_1} $ và ${H_2} $ như sau:
Giai đoạn ${H_1} $: Tạo ra một phân hoạch
$\mathop N\limits^{\_\_} $ của $N $ gồm $m $ khối. Áp dụng định nghĩa của số Stirling loại hai, ta có
$S(n,m) $ cách thực hiện giai đoạn ${H_1} $
Giai đoạn ${H_2} $: Tạo ra một hàm song ánh
$\mathop f\limits^{\_\_} :\mathop N\limits^{\_\_} \to M $. Áp dụng công thức đếm tất cả các hàm đơn ánh từ tập N vào tập M, ta có $m! $ cách thực hiện giai đoạn ${H_2} $
@ Theo quy tắc nhân, ta có:
Số các hàm toàn ánh $\mathop f\limits^{\_\_} :\mathop N\limits^{\_\_} \to M $ với
$\left| N \right| = n,\left| M \right| = m $ là:
$m!S(n,m) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Bài này dùng nguyên lý bù trừ.
Ta sẽ đếm số ánh xạ không toàn ánh.
Gọi $A_i $ là tập các ánh xạ mà trong tập ảnh không chứa phần tử thứ i của tập F.
Như vậy thì tập các ánh xạ không toàn ánh là hợp của các $A_i $. Dùng nguyên lý bù trừ để đếm số phần tử.
P/S: nếu bạn học ở DHSPHN thì tham khảo sách Đại số sơ cấp của các thầy Dương Quốc Việt và Đàm Văn Nhỉ sẽ có phần này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]