Chứng minh sự tồn tại $\sqrt[3]{5}$

[Phudinhgioihan]

Không phủ nhận lời giải của anh, nhưng em thấy hơi giả tạo. Cho 2 số thực x, y. Chứng minh $x+y=x \Rightarrow y=0 $ ta có $x+y+(-x)=[x+y]+(-x)=x+(-x)=0 $ $\rightarrow x+[y+(-x)]=[x+(-x)]+y=0+y=y $(*) Áp dụng cái (*) này: $\Rightarrow0.x=(0+0).x=0.x+0.x \Rightarrow 0.x=0 $

lời giải cũng lại giả tạo, ai có cách khác không

Chơi tới bến đêm nay, sáng mai cuốc bộ...

$0.x=(1+(-1) ).x=1.x+(-1).x=x+(-1).x $

Theo lẽ tự nhiên, ta đi cm $(-1).x=-x $


$0.x=x+(-1).x=x+(0+(-1)).x=0.x+x+(-1).x $

$\Rightarrow (-1).x=-x $

Thế thì xong rồi !
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pega94]

Chơi tới bến đêm nay, sáng mai cuốc bộ...

$0.x=(1+(-1) ).x=1.x+(-1).x=x+(-1).x $

Theo lẽ tự nhiên, ta đi cm $(-1).x=-x $


$0.x=x+(-1).x=x+(0+(-1)).x=0.x+x+(-1).x $

$\Rightarrow (-1).x=-x $

Thế thì xong rồi !

(Sẵn cho em hỏi tính trù mật của $Q $ và $R\Q $ trong $R $) với mọi số thực $x $ và mọi số thực dương $\epsilon $ ta tìm được $q $ và $p $ trong $Q $ và $r $ và $s $ trong $R\Q $ sao cho:
$x-\epsilon<p<x<q<x+\epsilon $
và:
$x-\epsilon<r<x<s<x+\epsilon $

Diễn giải ra câu chữ thì nên hiểu sau anh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phudinhgioihan]

(Sẵn cho em hỏi tính trù mật của $Q $ và $R\Q $ trong $R $) với mọi số thực $x $ và mọi số thực dương $\epsilon $ ta tìm được $q $ và $p $ trong $Q $ và $r $ và $s $ trong $R\Q $ sao cho:
$x-\epsilon<p<x<q<x+\epsilon $
và:
$x-\epsilon<r<x<s<x+\epsilon $

Diễn giải ra câu chữ thì nên hiểu sau anh

Thật ra 2 câu trên chỉ là suy ra từ tính chất trù mật của $\mathbb{Q} $ trong $\mathbb{R} $, tức giữa 2 số thực bất kỳ luôn tồn tại số hữu tỷ. Trong các sách đều có CM rồi, viết ra ở đây không tiện
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pega94]

Thật ra 2 câu trên chỉ là suy ra từ tính chất trù mật của $\mathbb{Q} $ trong $\mathbb{R} $, tức giữa 2 số thực bất kỳ luôn tồn tại số hữu tỷ. Trong các sách đều có CM rồi, viết ra ở đây không tiện

Cuối cùng cũng chả hiểu để làm gì luôn, sách viết có mấy dòng đó thôi.

Giải hộ em 2 bài ở topic kia luôn nhé

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[yeuthuong08]

Lời giải giả tạo là sao ta ? Mới nghĩ ra thôi mà. Học Toán cc thì em cũng phải quen tư duy theo lối chuyên nghiệp tí, như trong các sách ấy, thế mới dễ đọc tài liệu cũng như nghiên cứu chuyên sâu! Gạt bỏ kiểu lập luận sơ cấp hồi PT đi... Anh nhớ có nhà Toán học nào nói thế này...

"Muốn học được Toán cao cấp, cần phải bỏ Toán sơ cấp . Muốn học được Toán hiện đại, cần gạt bỏ Toán cao cấp". Em hiểu ý ông này nói gì chứ !

Vậy bạn hiểu ý kiến của ông ấy như thế nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Phudinhgioihan]

Chứng minh sự tồn tại $\sqrt[3]{5}$

Giờ ngẫm nghĩ cái chủ đề này hay hay thật. Rãnh không biết làm gì, ta đi chứng minh sự tồn tại của căn bậc n.

Bài toán:

Cho $a \in \mathbb{R}_+ $ và $n \in \mathbb{N}^* $
CM: tồn tại $b \in \mathbb{R}_+ $ sao cho $b^n=a $

Giải:

# Nếu $a=0,a=1 $ thì hiển nhiên.

# Nếu $a>1 $

Đặt $A=\{x \in \mathbb{R}_+ ; x^n \le a\} $

Vì $1 \in A $ nên $A $ khác rỗng và hiển nhiên bị chặn trên bởi a vì nếu $x \in A $ thì $x^n\le a<a^n $,

do đó A phải có một biên trên b trong $\mathbb{R} $

* Giả sử $b^n<a $

Vá»›i $\alpha \in (0;1) $

$(b+\alpha)^n-b^n=\sum_{k=1}^n C_n^kb^{n-k}\alpha^k $

$< \sum_{k=1}^n C_n^k b^{n-1} \alpha=(2^n-1) b^{n-1} \alpha $

Chọn $0<\alpha < Min(1, \dfrac{a-b^n}{(2^n-1)b^{n-1}}) $

$\Rightarrow (b+\alpha)^n -b^n < (2^n-1) b^{n-1} \alpha <a-b^n $

$\Leftrightarrow (b+\alpha)^n <a $

$\Rightarrow b+\alpha \in A $ nhưng $b+\alpha >b =Sup_A $ , mâu thuẫn!


*Giả sử $b^n>a $

Vá»›i $\beta \in (0;b) $

$b^n-(b -\beta)^n=\sum_{k=1}^n C_n^k (-1)^{k+1} b^{n-k} \beta^k $

$\le \sum_{k=1}^n C_n^k b^{n-k} \beta^k=\sum_{k=1}^nC_n^k b^n (\dfrac{\beta}{b})^k $

$< \sum_{k=1}^n C_n^k b^n \dfrac{\beta}{b}=(2^n-1) b^{n-1} \beta $

Chọn $0<\beta<Min(b,\dfrac{b^n-a}{(2^n-1)b^{n-1}}) $

$\Rightarrow b^n-(b-\beta)^n < (2^n-1)b^{n-1}\beta <b^n-a $

$\Leftrightarrow (b-\beta)^n >a $

$\Rightarrow b-\beta $ là một chặn trên của A, mâu thuẫn với $b=Sup_A $

Vậy phải có $b^n=a $

Nếu còn tồn tại phần tử $c \in \mathbb{R}_+, c \neq b $ và $c^n=a $

Thế thì $0=b^n-c^n=(b-c) \sum_{k=0}^{n-1} b^k c^{n-1-k} $

$\Rightarrow b=c $

# Nếu $0<a<1 $ , ta xét kết quả trên cho số $\dfrac{1}{a} $

Vậy khẳng định đã được CM



[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]