Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Thi HSG Cấp Quốc Gia

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-08-2010, 03:56 PM   #1
herr.casanova
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 33
Thanks: 17
Thanked 33 Times in 13 Posts
German Mathematical Olympiad 2010 Class 12-13 Round 4 (National) 1st Day

Bài 1.
Hai đường tròn $k $ và $l $ cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Một tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với $k $ tại $K $ và tiếp tuyến chung còn lại tiếp xúc với $l $ tại $L $. Chứng minh rằng đường thẳng $KL $ cắt hai đường tròn tạo nên hai dây cung có độ dài bằng nhau.

Bài 2.
$a,b,c $ là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh răng:
$\left ( \frac{2a-b}{a-b} \right )^2 + \left ( \frac{2b-c}{b-c} \right )^2 + \left ( \frac{2c-a}{c-a} \right )^2 \geq 5 $

Bài 3.
Một "câu chuyện vô hạn“ là một câu chuyện được viết trong một cuốn sách mà có bắt đầu chứ không có kết thúc. Các trang của cuốn sách được đánh số $1,2,3,\dots $.
Một tác giả muốn viết một câu chuyện vô hạn, mà ở đó trong mỗi trang một người lùn mới được giới thiệu. Những người lùn này thực hiện trên trang giấy một hoặc nhiều cuộc hội thoại, mỗi cuộc hội thoại có ít nhất hai người lùn (đã được giới thiệu) tham gia (gọi là một nhóm hội thoại). Số lượng các cuộc hội thoại trong một trang sách không bị giới hạn. Để cho cuốn sách thêm thú vị, nhà xuất bản yêu cầu tác giả phải thực hiện được yêu cầu sau:
Mỗi tập vô hạn các người lùn đều chứa một nhóm (ít nhất có hai người lùn) mà ở một thời điểm nào đó là một nhóm hội thoại, và chứa một nhóm có cùng số lượng người lùn mà không có bất kỳ thời điểm nào là một nhóm hội thoại.
Hỏi tác giả có thể thực hiện được yêu cầu của nhà xuất bản không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: herr.casanova, 12-08-2010 lúc 04:03 PM
herr.casanova is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-08-2010, 04:00 PM   #2
crystal_liu
+Thành Viên+
 
crystal_liu's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Đến từ: Akaban
Bài gởi: 353
Thanks: 94
Thanked 199 Times in 141 Posts
Xem lại đề bài một cái coi về K,L ấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
crystal_liu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-08-2010, 04:03 PM   #3
herr.casanova
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 33
Thanks: 17
Thanked 33 Times in 13 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi crystal_liu View Post
Xem lại đề bài một cái coi về K,L ấy
Cám ơn bạn, mình đã sửa rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
herr.casanova is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-08-2010, 04:20 PM   #4
Kratos
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Toán 0912, PTNK, Tp.HCM
Bài gởi: 87
Thanks: 25
Thanked 160 Times in 73 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới Kratos
Trích:
Nguyên văn bởi herr.casanova View Post
Bài 1.
Bài 2.
$a,b,c $ là các số thực đôi một phân biệt. Chứng minh răng:
$\left ( \frac{2a-b}{a-b} \right )^2 + \left ( \frac{2b-c}{b-c} \right )^2 + \left ( \frac{2c-a}{c-a} \right )^2 \geq 5 $
Ta viết lại BĐT như sau:

$\sum \left (1 + \dfrac{a}{a - b} \right)^2 \ge 5 \Leftrightarrow \sum \left (\dfrac{a}{a - b} \right)^2 + 2\sum \dfrac{a}{a - b} \ge 2 $

Đặt $x = \dfrac{a}{a - b}, y = \dfrac{b}{b - c}, z = \dfrac{c}{c - a} $. Dễ thấy $xyz = (x - 1)(y - 1)(z - 1) \Leftrightarrow x + y + z = xy + yz + zx + 1 $.

BĐT cần CM lúc này là $x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z) \ge 2 $. BĐT đúng do $x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx + 1) = (x + y + z)^2 + 2 \ge 2 $. Phép chứng minh hoàn tất.

Với bài này nếu muốn che giấu bản chất bài toán có thể phát biểu như sau: CMR với 3 số thực $a, b, c $ đôi một phân biệt, ta luôn có $\sum \dfrac{5a^2 - 8ab + 5b^2}{(a - b)^2} > 10 $ hoặc $\sum \dfrac{5a^2 - 2ab + 2b^2}{(a - b)^2} > 7 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Kratos, 12-08-2010 lúc 04:28 PM
Kratos is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to Kratos For This Useful Post:
crystal_liu (12-08-2010), cry_15 (19-12-2010), herr.casanova (12-08-2010), n.v.thanh (12-08-2011)
Old 12-08-2010, 04:31 PM   #5
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Bài 1:
đặt tên các điểm như hình vẽ
ta có $KD=2R_1.\sin\frac{\widehat{KO_1D}}{2}=2R_1.\sin \widehat{DKL'}=2R_1.\sin\widehat{IKL} $
$LE=2R_2.\sin\frac{\widehat{LO_2E}}{2}=2R_2.\sin \widehat{ELK'}=2R_2.\sin\widehat{ILK} $
mặt khác, áp dụng định lý sin, ta có:
$\frac{\sin\widehat{IKL}}{\sin\widehat{ILK}}=\frac{ IL}{IK}=\frac{R_2}{R_1}\Rightarrow R_1.\sin\widehat{IKL}=R_2.\sin\widehat{ILK} $
do đó $KD=LE $ (đpcm)

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.

thay đổi nội dung bởi: novae, 12-08-2010 lúc 04:37 PM
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to novae For This Useful Post:
crystal_liu (12-08-2010), herr.casanova (12-08-2010)
Old 12-08-2010, 10:11 PM   #6
herr.casanova
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Aug 2010
Bài gởi: 33
Thanks: 17
Thanked 33 Times in 13 Posts
Đúng như mong đợi là hai bài hình học và BĐT sẽ bị chém ngay. Mời cao kiến của các bạn về bài số 3 Đây là một bài toán khá hay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
herr.casanova is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:11 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 60.33 k/68.24 k (11.59%)]