Vòng 2 - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP 2013-2014

tranhongviet · 07-06-2013, 06:52 PM

Ai có đề post hộ mình xem với

dung_toan78 · 07-06-2013, 07:28 PM

Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội năm 2013

Câu 1 : (2,5 điểm)

1, Các số thực $a,b,c$ đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :

$(a+b)(b+c)(c+a)=abc$
$(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$

Chứng minh rằng $abc=0$

2, Các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab>2013a+2014b$. Chứng minh bất đẳng thức :

$$a+b>(\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^2$$

Câu 2 : (2 điểm)

Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ $(a;b)$ thỏa mãn hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^3-2y^3=x+4y\\ 6x^2-19xy+15y^2 = 1 \end{matrix}\right.$

Câu 3 : (1 điểm)
Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ là tổng $n$ số nguyên tố đầu tiên . CHứng minh rằng tr0ng dãy số $S_1,S_2,...$ không tồn tại 2 số chính phương liên tiếp.
Câu 4 : (2,5 điểm)
Tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, $BD$ là phân giác góc $ABC$. Đường thẳng $BD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $E$. Đường tròn $(O_1)$ đường kính $DE$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $F$
1. Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BF$ qua đường thẳng $BD$ đi qua trung điểm $AC$.
2. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $B$. $\widehat{BAC}=60^{o}$ và bán kính $(O)$ bằng $R$, tính bán kính $(O_1)$ theo $R$.

Câu 5 : (1 điểm)
Độ dài 3 cạnh tam giác $ABC$ là 3 số nguyên tố, chứng minh điện tích tam giác $ABC$ không phải là số nguyên.
Câu 6 : (1 điểm)

$a_1, a_2, .. a_{11}$ là các số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn $a_1 + a_2 + .. + a_{11} = 407$. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sa0 cho tổng các số dư của các phép chia $n$ cho 22 số $a_1, a_2, ... a_{11} , 4a_1, ... 4a_{11}$ bằng $2012$.

jb1DBlLO7bCWN8.jpg

Nguồn [Only registered and activated users can see links. ]

Gin Mellkior · 07-06-2013, 08:54 PM

Câu 5. Đặt $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Áp dụng công thức Herons ta được $$S=\sqrt{\frac{\left ( a+b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}{64}}$$
Đặt $x=\left ( a+b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )$.
- Nếu tam giác $ABC$ có tất cả các cạnh đều bằng $2$ thì hiển nhiên diện tích tam giác không phải số nguyên.
- Nếu tam giác $ABC$ không có cạnh nào bằng $2$ thì $x$ lẻ do đó $S$ không nguyên.
- Nếu tam giác $ABC$ có hai cạnh bằng $2$, giả sử $a=b=2$ và $c>2$ thì $x$ là số lẻ do đó $S$ không phải số nguyên.
- Nếu tam giác $ABC$ có một cạnh bằng $2$, giả sử $a=2$ và $b\geq c>2$ thì theo bất đẳng thức tam giác ta có $b<c+a=c+2$ suy ra $c\leq b<c+2$ hay $b=c$ hoặc $b=c+1$ (vì $b$ nguyên).
Với $b=c+1$ thì vô lý vì $b$ và $c$ là hai số nguyên tố lớn hơn $2$.
Với $b=c$ thì $x=16\left ( b^{2}-1 \right )$. Như vậy để $S$ là số nguyên thì $b^{2}-1=k^{2}$ suy ra $b=0$ (vô lý).
Vậy ta thu được điều phải chứng minh.

linh1997 · 07-06-2013, 09:03 PM

Bài 3:
Gọi $a_n$ là số nguyên tố thứ n
Gỉa sử tồn tại 2 số $S_n$ và $S_{n - 1}$ sao cho $S_{n - 1} = a^2$ và $S_n = b^2$
Dễ dàng chứng minh được b = a + 1, khi đó $a_n = 2a + 1$ .
Với $a_n \le 7$ thử trực tiếp ta có đpcm
Với $a_n \ge 11$ Ta có $S_n $ nhỏ hơn tổng các số lẻ từ 1 đến 2a + 1 trừ 8 ( + 2 – 1 - 9 do 9 không phải số nguyên tố ) . Tổng này lại nhỏ hơn ${(a + 1)}^2$ suy ra vô lý suy ra đpcm
------------------------------
Câu 6:
Gọi S là tổng các số dư của n cho 22 số đã cho.
Ta dễ dàng chặn được $S \le 2013$, do đó trong 22 số ( gọi chung là $A_i$ và $r_i$ là số dư của n cho $A_i$) tồn tại duy nhất 1 số $A_k$ sao cho n chia $A_k$ dư $A_k - 2$, các số $A_i$ còn lại đều dư $A_k - 1$.
Tới đây áp dụng điều kiện cần và đủ để có nghiệm của định lý thặng dư trung hoa là $( A_i,A_j )$ | $( r_i - r_j )$ với mọi $i \neq j$, khi đó:
$$( A_k, A_j ) | ( A_k - A_j - 1 )$$
suy ra $( A_k, A_j ) | 1$ ( Vô lý do nếu $( A_k = m.a_x $ (với m = 1 hoặc 4) ta chọn $( A_j = \frac{4}{m}.a_x $ thì $( A_k, A_j ) = a_x \ge 2$ )
Vậy không tồn tại n thỏa mãn đề bài

Harry Potter · 08-06-2013, 12:45 AM

Không biết bao h có kết quả đây nhỉ

Harry Potter · 08-06-2013, 06:13 AM

được 6 toán v2 liệu có đỗ không nhỉ?

Gin Mellkior · 08-06-2013, 08:53 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Harry Potter

Không biết bao h có kết quả đây nhỉ

Trích:

Nguyên văn bởi Harry Potter

được 6 toán v2 liệu có đỗ không nhỉ?

Tùy năm em nhé, cái đấy xem trên website của trường đi chứ hỏi trên diễn đàn làm gì

dbm3001 · 08-06-2013, 02:03 PM

Trích:

Nguyên văn bởi linh1997

Bài 3:
Gọi $a_n$ là số nguyên tố thứ n
Gỉa sử tồn tại 2 số $S_n$ và $S_{n - 1}$ sao cho $S_{n - 1} = a^2$ và $S_n = b^2$
Dễ dàng chứng minh được b = a + 1, khi đó $a_n = 2a + 1$ .
Với $a_n \le 7$ thử trực tiếp ta có đpcm
Với $a_n \ge 11$ Ta có $S_n $ nhỏ hơn tổng các số lẻ từ 1 đến 2a + 1 trừ 8 ( + 2 – 1 - 9 do 9 không phải số nguyên tố ) . Tổng này lại nhỏ hơn ${(a + 1)}^2$ suy ra vô lý suy ra đpcm
------------------------------
Câu 6:
Gọi S là tổng các số dư của n cho 22 số đã cho.
Ta dễ dàng chặn được $S \le 2013$, do đó trong 22 số ( gọi chung là $A_i$ và $r_i$ là số dư của n cho $A_i$) tồn tại duy nhất 1 số $A_k$ sao cho n chia $A_k$ dư $A_k - 2$, các số $A_i$ còn lại đều dư $A_k - 1$.
Tới đây áp dụng điều kiện cần và đủ để có nghiệm của định lý thặng dư trung hoa là $( A_i,A_j )$ | $( r_i - r_j )$ với mọi $i \neq j$, khi đó:
$$( A_k, A_j ) | ( A_k - A_j - 1 )$$
suy ra $( A_k, A_j ) | 1$ ( Vô lý do nếu $( A_k = m.a_x $ (với m = 1 hoặc 4) ta chọn $( A_j = \frac{4}{m}.a_x $ thì $( A_k, A_j ) = a_x \ge 2$ )
Vậy không tồn tại n thỏa mãn đề bài

Sao b=a+1 nhỉ?

linh1997 · 08-06-2013, 04:07 PM

Trích:

Nguyên văn bởi dbm3001

Sao b=a+1 nhỉ?

Vì ta có $a_n = S_n - S_{n - 1} = (b - a)(b + a)$ mà do $a_n$ là số nguyên tố mà (b + a) > 1 nên b - a phải băng 1

sinh34 · 08-06-2013, 08:44 PM

Trích:

Nguyên văn bởi linh1997

Vì ta có $a_n = S_n - S_{n - 1} = (b - a)(b + a)$ mà do $a_n$ là số nguyên tố mà (b + a) > 1 nên b - a phải băng 1

Tôi thấy hơi có vấn đề. Tồn tại 2 số chính phương liên tiếp đâu có nghĩa là hai S liên tiếp. Nhỡ $S_n$ và $S_{n-2}$ mới là 2 số chính phương liên tiếp, còn $S_{n-1}$ không phải.

linh1997 · 08-06-2013, 09:00 PM

Trích:

Nguyên văn bởi sinh34

tôi thấy hơi có vấn đề ak.tồn tại 2 số chính phương liên tiếp đâu có nghĩa là 2 S liên tiếp.nhỡ Sn và Sn-2 mới là 2 số chính phương liên tiếp.còn Sn-1 không phải.

Cảm ơn, mình hiểu nhầm đề....Cơ mà bài toán vẫn không sai, điều này lại càng làm nó mạnh thêm

... Rõ ràng bản chất vẫn không đổi, Giả sử có ${(a + 1)}^2$ và $a^2$ là 2 số chính phương liên tiếp trong dãy, trong đó $S_n = {(a + 1)}^2$ thì $a_n \le 2a + 1 $ sau đó chứng tương tự như bài trước là ổn...

dung_toan78 · 16-06-2013, 09:10 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Harry Potter

Không biết bao h có kết quả đây nhỉ

Đã có điểm rồi nhưng chắc tối nay hoặc sáng mai mới thông báo chính thức. Thấy bảo điểm chuẩn chuyên Toán thấp, chuyên Tin thì cực thấp.

Những bạn được khoảng 5 điểm Toán chuyên chắc đỗ cả

let_wind_go · 16-06-2013, 09:46 AM

Trên là điểm của KHTN mà có phải ĐHSP đâu

Đề năm nay khó hơn mọi năm nên chắc điểm thấp hơn, chắc điểm chuẩn giảm còn 28 29 thôi

Oxyz · 16-06-2013, 09:56 AM

Trích:

Nguyên văn bởi let_wind_go

Trên là điểm của KHTN mà có phải ĐHSP đâu

Đề năm nay khó hơn mọi năm nên chắc điểm thấp hơn, chắc điểm chuẩn giảm còn 28 29 thôi

Uh, hj nhầm.

07-06-2013, 06:52 PM	#1
tranhongviet +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts	Vòng 2 - Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐHSP 2013-2014 Ai có đề post hộ mình xem với

07-06-2013, 08:54 PM	#3
Gin Mellkior +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2012 Bài gởi: 86 Thanks: 226 Thanked 60 Times in 27 Posts	Câu 5. Đặt $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Áp dụng công thức Herons ta được $$S=\sqrt{\frac{\left ( a+b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}{64}}$$ Đặt $x=\left ( a+b+c \right )\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )$. - Nếu tam giác $ABC$ có tất cả các cạnh đều bằng $2$ thì hiển nhiên diện tích tam giác không phải số nguyên. - Nếu tam giác $ABC$ không có cạnh nào bằng $2$ thì $x$ lẻ do đó $S$ không nguyên. - Nếu tam giác $ABC$ có hai cạnh bằng $2$, giả sử $a=b=2$ và $c>2$ thì $x$ là số lẻ do đó $S$ không phải số nguyên. - Nếu tam giác $ABC$ có một cạnh bằng $2$, giả sử $a=2$ và $b\geq c>2$ thì theo bất đẳng thức tam giác ta có $b<c+a=c+2$ suy ra $c\leq b<c+2$ hay $b=c$ hoặc $b=c+1$ (vì $b$ nguyên). Với $b=c+1$ thì vô lý vì $b$ và $c$ là hai số nguyên tố lớn hơn $2$. Với $b=c$ thì $x=16\left ( b^{2}-1 \right )$. Như vậy để $S$ là số nguyên thì $b^{2}-1=k^{2}$ suy ra $b=0$ (vô lý). Vậy ta thu được điều phải chứng minh. __________________ LSTN, tạm biệt nhé...!

07-06-2013, 09:03 PM	#4
linh1997 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2011 Bài gởi: 133 Thanks: 27 Thanked 31 Times in 15 Posts	Bài 3: Gọi $a_n$ là số nguyên tố thứ n Gỉa sử tồn tại 2 số $S_n$ và $S_{n - 1}$ sao cho $S_{n - 1} = a^2$ và $S_n = b^2$ Dễ dàng chứng minh được b = a + 1, khi đó $a_n = 2a + 1$ . Với $a_n \le 7$ thử trực tiếp ta có đpcm Với $a_n \ge 11$ Ta có $S_n $ nhỏ hơn tổng các số lẻ từ 1 đến 2a + 1 trừ 8 ( + 2 – 1 - 9 do 9 không phải số nguyên tố ) . Tổng này lại nhỏ hơn ${(a + 1)}^2$ suy ra vô lý suy ra đpcm ------------------------------ Câu 6: Gọi S là tổng các số dư của n cho 22 số đã cho. Ta dễ dàng chặn được $S \le 2013$, do đó trong 22 số ( gọi chung là $A_i$ và $r_i$ là số dư của n cho $A_i$) tồn tại duy nhất 1 số $A_k$ sao cho n chia $A_k$ dư $A_k - 2$, các số $A_i$ còn lại đều dư $A_k - 1$. Tới đây áp dụng điều kiện cần và đủ để có nghiệm của định lý thặng dư trung hoa là $( A_i,A_j )$ \| $( r_i - r_j )$ với mọi $i \neq j$, khi đó: $$( A_k, A_j ) \| ( A_k - A_j - 1 )$$ suy ra $( A_k, A_j ) \| 1$ ( Vô lý do nếu $( A_k = m.a_x $ (với m = 1 hoặc 4) ta chọn $( A_j = \frac{4}{m}.a_x $ thì $( A_k, A_j ) = a_x \ge 2$ ) Vậy không tồn tại n thỏa mãn đề bài __________________ lúc khó khăn nhất là lúc thành công không còn xa nữa thay đổi nội dung bởi: linh1997, 07-06-2013 lúc 09:45 PM Lý do: Tự động gộp bài

07-06-2013, 07:28 PM	#2
dung_toan78 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2008 Bài gởi: 111 Thanks: 117 Thanked 41 Times in 25 Posts	Đề thi vào lớp 10 Chuyên Toán Sư Phạm Hà Nội năm 2013 Câu 1 : (2,5 điểm) 1, Các số thực $a,b,c$ đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức : $(a+b)(b+c)(c+a)=abc$ $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$ Chứng minh rằng $abc=0$ 2, Các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab>2013a+2014b$. Chứng minh bất đẳng thức : $$a+b>(\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^2$$ Câu 2 : (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ $(a;b)$ thỏa mãn hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} x^3-2y^3=x+4y\\ 6x^2-19xy+15y^2 = 1 \end{matrix}\right.$ Câu 3 : (1 điểm) Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ là tổng $n$ số nguyên tố đầu tiên . CHứng minh rằng tr0ng dãy số $S_1,S_2,...$ không tồn tại 2 số chính phương liên tiếp. Câu 4 : (2,5 điểm) Tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, $BD$ là phân giác góc $ABC$. Đường thẳng $BD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $E$. Đường tròn $(O_1)$ đường kính $DE$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $F$ 1. Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BF$ qua đường thẳng $BD$ đi qua trung điểm $AC$. 2. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $B$. $\widehat{BAC}=60^{o}$ và bán kính $(O)$ bằng $R$, tính bán kính $(O_1)$ theo $R$. Câu 5 : (1 điểm) Độ dài 3 cạnh tam giác $ABC$ là 3 số nguyên tố, chứng minh điện tích tam giác $ABC$ không phải là số nguyên. Câu 6 : (1 điểm) $a_1, a_2, .. a_{11}$ là các số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn $a_1 + a_2 + .. + a_{11} = 407$. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sa0 cho tổng các số dư của các phép chia $n$ cho 22 số $a_1, a_2, ... a_{11} , 4a_1, ... 4a_{11}$ bằng $2012$. jb1DBlLO7bCWN8.jpg Nguồn [Only registered and activated users can see links. ]

08-06-2013, 12:45 AM	#5
Harry Potter +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 32 Thanks: 24 Thanked 26 Times in 6 Posts	Không biết bao h có kết quả đây nhỉ

08-06-2013, 06:13 AM	#6
Harry Potter +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 32 Thanks: 24 Thanked 26 Times in 6 Posts	được 6 toán v2 liệu có đỗ không nhỉ?

16-06-2013, 09:46 AM	#13
let_wind_go +Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 46 Thanks: 25 Thanked 35 Times in 12 Posts	Trên là điểm của KHTN mà có phải ĐHSP đâu Đề năm nay khó hơn mọi năm nên chắc điểm thấp hơn, chắc điểm chuẩn giảm còn 28 29 thôi