Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Thi HSG Cấp Quốc Gia

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 22-04-2018, 09:28 AM   #1
hung.vx
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 36
Thanks: 0
Thanked 13 Times in 7 Posts
Greece National Olympiad 2018

Greece National Olympiad 2018


Bài 1: Cho $ (x_n), n \in \mathbb{N} $ là một dãy số thỏa mãn $ x_{n + 1} = 3x_n^3 + x_n, \forall n\in\mathbb{N}$ và $x_1 = \dfrac{a}{b}$ trong đó $ a, b $ là số nguyên dương sao cho $ 3 \not| b $. Nếu tồn tại $m$ để $x_m $ là bình phương của một số hữu tỷ, chứng minh rằng $ x_1 $ cũng là bình phương của một số hữu tỷ.

Bài 2: Cho tam giác $ ABC $ nhọn với $ AB<AC <BC $ và $ c (O, R) $ đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ D, E $ tương ứng là các thuộc cung nhỏ $ AC, AB $. Gọi $ K $ là điểm giao điểm của $ BD, CE $ và $ N $ là điểm chung thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BKE $ và $ CKD $. Chứng minh rằng $ A, K, N $ là thẳng hàng khi và chỉ khi $ K $ thuộc trung tuyến xuất phát từ $ A $ của tam giác $ABC$.


Bài 3: Cho $ n, m $ là số nguyên dương sao cho $ n <m $ và $ a_1, a_2, ..., a_m $ là các số thực khác nhau.
  1. Tìm tất cả các đa thức $ P $ với các hệ số thực với bậc không vượt quá $ n $ sao cho:
    $$ | P (a_i) -P (a_j) | = | a_i-a_j | ,\forall i, j \in\{1, 2, ..., m \},i <j $$
  2. Nếu $ n, m \ge 2 $, có tồn tại hay không một đa thức $ Q $ với các hệ số thực và bậc $ n $ sao cho:
    $$ | Q (a_i) -Q (a_j) | <| a_i-a_j | ,\forall i, j\in\{1, 2, ..., m \},i <j .$$
Bài 4: Trong mặt phẳng, có $ n $ điểm ($ n \ge 4 $) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi $ A (n) $ là số lượng các hình bình hành có đỉnh là những điểm đã cho và có diện tích bằng $ 1 $. Chứng minh rằng
$$ A (n) \leq \frac {n^2-3n}{4} ,\forall n \ge 4 .$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hung.vx is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 07:10 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 37.73 k/40.97 k (7.92%)]