Đề Thi Chọn Đội Dự Tuyển Toán 10 THPT Chuyên Hà Tĩnh(Đề chính thức)

[duccleverboy]

Xin lỗi các bác, cái đề hôm trước thầy chỉ tham khảo, còn chiều nay mới là chọn chính thức,hình như ngày mai là có kết quả luôn


ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH (Đề Chính Thức)
Thời gian: 120 min ( không kể thời gian phát đề)

Bài 1(1,5đ):Giải hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix}3(x+\frac{1}{x})=4(y+\frac{1} {y})=5(z+\frac{1}{z})
& & \\ xy+yz+zx=1
& &
\end{matrix}\right.

Bài 2:Giải các phương trình sau:
a.(1đ). \left [ \frac{5+6x}{8} \right ]=\frac{15x-7}{5}
b.(1đ).x^3-\left [ x \right ]=3

Bài 3(1,5đ):Cho x^2+y^2+z^2=1.Tìm MIN, MAX của:
A=xy+yz+2zx

Bài 4(1,5đ): Cho tam giác ABC có phân giác trong AD, trung tuyến BM và đường cao CH đồng quy.Chứng minh rằng:
\tan A=\frac{\sin C}{\cos B}

Bài 5(1,5đ): Tìm hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \left \{ 2;3;.... \right \} thỏa mãn:
f(n)+f(n+1)=f(n+2).f(n+3)-168

Bài 6(2đ): Cho tam giác ABC vuông tại A và nội tiếp đường tròn (O).Trên tia đối của tia BA,CA lấy E,F sao cho BE=CF=BC. M là điểm chạy trên (O).Chứng minh rằng: MA+MB+MC\leq EF

:O:barrywhite:

[tangchauphong]

Bài 4:
Áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC có ba đường AD, BM, CH đồng quy là:
\frac{HA.DB.MC}{HB.DC.MA} = 1
Có MC=MA nên suy ra \frac{HA.DB}{HB.DC} = \frac{HA.AB}{HB.AC} =1
Suy ra \frac{HB}{HA} = \frac{AB}{AC}. (1)

Ta có: \tan A.\cos B =\frac{HC.BH}{AH.BC}

\sin C= \frac{AB.\sinB}{AC} = \frac{AB.HC}{AC.BC}


Từ (1) suy ra \frac{HC.BH}{BC.AH} = \frac{AB.HC}{AC.BC} vậy ta có điều phải chứng minh.

[OnVMO]

Xin lỗi các bác, cái đề hôm trước thầy chỉ tham khảo, còn chiều nay mới là chọn chính thức,hình như ngày mai là có kết quả luôn


ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH (Đề Chính Thức)
Thời gian: 120 min ( không kể thời gian phát đề)


Bài 3(1,5đ):Cho x^2+y^2+z^2=1.Tìm MIN, MAX của:
A=xy+yz+2zx


Anh thấy cái đề hôm trước cũng hay mà.
Nhìn câu 3 nhớ 1 bài từng được làm đề Báo bảng. Cho x,y,z>0 mà x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=1. Tìm MIN P=x^2+y^2+4z^2
Có danh sách đội dự tuyển thì up lên nhé em!

[truongvoki_bn]

Bài hệ:

Đặt x=\tan\frac{A}{2};y=\tan\frac{B}{2};z=\tan\frac{C} {2}

Khi đó A;B;C là ba góc một tam giác.

\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{2}{\sin A}

\Rightarrow \frac{3}{\sin A}=\frac{4}{\sin B}=\frac{5}{\sin C}

Để ý: 3^2+4^2=5^2 và định lý hàm số sin ta sẽ có tam giác ABC

vuông tại C

\Rightarrow z=1

Từ đó thay vào tìm x;y

[5434]

Bài 5 có phải f(x)=14 không????
mọi người vui lòng giải giúp
:-<:-<:-<

[khoile101]

Bài 5 nhìn giống bài pth chọn đội tuyển Hà tĩnh năm nay và giống VMO 1996 Bảng A

[nguyendung_hy]

B ài 2a:x^{3}=\left [ x \right ]+3 \Rightarrow x^{3}\in \mathbb{Z}
\Rightarrow x\in \mathbb{Z}

đến đây ta dễ dàng suy ra vô nghiệm

[novae]

x^{3}\in \mathbb{Z} \Rightarrow x\in \mathbb{Z}

Chỗ suy ra này của bạn sai. Phương trình vẫn có nghiệm x=\sqrt[4]{3}.

[hizact]

B ài 2a:x^{3}=\left [ x \right ]+3 \Rightarrow x^{3}\in \mathbb{Z}
\Rightarrow x\in \mathbb{Z}

đến đây ta dễ dàng suy ra vô nghiệm

Định lí nào nói nếu x^3 \in \mathbb{Z} thì x \in \mathbb{Z} thế ạ ;))

[liverpool29]

Bài 6 là bài 2.8 trong "Tuyển tập các bài toán Hình học phẳng" của Mathscope nhà mình. [Only registered and activated users can see links] Trúng cái bài em biên soạn :D

[khoile101]

Sử dụng bất đẳng thức sau:
\left [ x \right ]\leqslant x\leqslant \left [ x \right ]+1
\Rightarrow 0\leqslant x^{3}-x-3 \leqslant 1\Rightarrow 1< x< 2\Rightarrow \left [ x \right ]= 1.
Từ đó tìm được nghiệm

[simplekolor]

Bài 3 GTNN là -1 và GTLN là \frac{1+\sqrt{3}}{2} phải không ạ?

[pth_tdn]

f(n+2)-f(n)=f(n+3)[f(n+4)-f(n+2)].
Do đó, nếu tồn tại n sao cho f(n)=f(n+2) thì ta cũng có f(0)=f(2)=...=f(2k) nếu n chẵn và f(1)=f(3)=...=f(2k+1) nếu n lẻ.
Rõ ràng, nếu tồn tại k sao cho f(2k)<f(2k+2) thì ta phải có f(0)<...<f(2k), tương tự f(2k+1)<f(2k+3) \leftrightarrow f(1)<...<f(2k+1) và ngược lại cho trường hợp dấu lớn hơn.
Rõ rang, nếu tồn tại k sao cho f(2k)>f(2k+2) thì f(0)>f(2)>...>f(2k), vô lí do khi đó có vô số số nguyên dương phân biệt nhỏ hơn f(0), tương tự cho trường hợp f(2k+1)>f(2k+3).
Vậy: ta xét các trường hợp:
1. f(0)< ... <f(2k), a=f(1)=...=f(2k+1)
Do f(2k)-f(2k-2)=a.[f(2k+2)-f(2k)].
f(2k+2)=\frac{(a+1)f(2k)-f(2k-2)}{a}
f(4)=f(2)+\frac{f(2)-f(0)}{a}
f(6)=f(4)+\frac{f(4)-f(2)}{a}
f(4)+\frac{f(2)-f(0)}{a^2};f(2k)=f(2k-2)+\frac{f(2)-f(0)}{a^{k-1}}
Do f(2k), f(2k-2) nguyên, f(2)>f(0) nên f(2)-f(0) chia hết cho a^{k-1} với mọi k, vô lí.
Vậy: f(0)=...=f(2k), f(1)=...=f(2k+1)
Tương tự cho trường hợp f(0)=...=f(2k), f(1)<f(3)<..<f(2k+1)
2.f(0)<f(2)<...<f(2k), f(1)<f(3)<...<f(2k+1)
Ta có: f(n+2)-f(n) \vdots f(n+3), do đó f(n+3)<f(n+2)
f(n+3)-f(n+1) \vdots f(n+4) \rightarrow f(n+4)<f(n+3) \rightarrow f(n+4)<f(n+2), vô lí.
Vậy , ta chỉ xét: f(0)=f(2)=...=a \vee f(1)=f(3)=...=b
a+b=ab-168 \rightarrow (a-1)(b-1)=169=13^2 \rightarrow (a,b)=(2,170) ;(170 ;2) ;(14 ;14).

[tffloorz]

Bài 1 có vẻ là dễ nhất
\Leftrightarrow 3\frac{x^2+1}{x}=4\frac{y^2+1}{y}=5\frac{z^2+1}{z}
\Leftrightarrow3\frac{(x+z)(x+y)}{x}=4\frac{(y+x)( y+z)}{y}=5\frac{(z+y)(z+x)}{z}
\Rightarrow
\begin{cases} \frac{3}{4}=\frac{x(y+z)}{y(x+z)};
\frac{4}{5}=\frac{y(z+x)}{z(y+x)};
\frac{5}{3}=\frac{z(x+y)}{x(y+z)}\end{cases}
Nhân chéo được một hệ phương trình mới.
Cộng các vế của phương trình, cuối cùng được
xy+yz=2zx
Thay vào (2) ta có xz=\frac{1}{3}
Từ đó giải ra nghiệm của hệ phương trình
kết quả hình như có 2 nghiệm thì phải.
------------------------------
[QUOTE=khoile101;127401]Sử dụng bất đẳng thức sau:
\left [ x \right ]\leqslant x\leqslant \left [ x \right ]+1
Vế sau dấu'=' xảy ra khi nào vậy

[duccleverboy]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH (Đề Chính Thức)
Thời gian: 120 min ( không kể thời gian phát đề)


Bài 3(1,5đ):Cho x^2+y^2+z^2=1.Tìm MIN, MAX của:
A=xy+yz+2zx

Bạn nào có thể giải bài này cho mình theo cách lượng giác hóa được không?

[NguyenThanhThi]

Các bạn có đề chọn đội hay kiểm tra đội tuyển toán thì đăng tiếp tục nhé!

[dungtk21]

Các bạn có đề chọn đội hay kiểm tra đội tuyển toán thì đăng tiếp tục nhé!
Trường anh lâu lâu mới có một bài kiểm tra thôi
Hic vậy là spam rồi,thôi chém đại một bài đã :
2)a)
Đặt \frac{15x-7}{5}=k(k\in \mathbb{Z})
\Rightarrow x=\frac{5k+7}{15}
Thay vào phương trình đầu ta được :
\left [ \frac{10k+39}{40} \right ]=k
\Rightarrow k\leq \frac{10k+39}{40}< k+1
\Rightarrow \frac{39}{30}\geq k> -\frac{1}{30}
\Rightarrow k=1;0\Rightarrow x=\frac{7}{15};\frac{4}{5}

[duccleverboy]

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH (Đề Chính Thức)
Thời gian: 120 min ( không kể thời gian phát đề)


Bài 3(1,5đ):Cho x^2+y^2+z^2=1.Tìm MIN, MAX của:
A=xy+yz+2zx

*MIN:
2A=(x+y+z)^2+(x+z)^2-(2x^2+2z^2+y^2)\geq 0+0-2(x^2+y^2+z^2)\geq -2\Rightarrow A\geq -1
Vậy Min A=-1 đạt được khi y=0 và x,z là hoán vị của (\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{-1}{\sqrt{2}})

*MAX:
Áp dụng BĐT BCS 2 lần ta có:
A\leq \sqrt{(x^2+z^2)(y^2+y^2)}+x^2+z^2=\sqrt{(1-y^2)2y^2}+1-y^2
\Leftrightarrow A\leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{4y^2-4y^4}+\frac{1}{2}(1-2y^2)+\frac{1}{2}\leq \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=\frac{ \sqrt{3}+1}{2}
Vậy Max A=\frac{\sqrt{3}+1}{2} đạt được khi:\left\{\begin{matrix}x=z=\frac{1}{2}\sqrt{1+\f rac{1}{\sqrt{3}}}
& & \\ y=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}}
& &
\end{matrix}\right.

[khoile101]

------------------------------
Sử dụng bất đẳng thức sau:
\left [ x \right ]\leqslant x\leqslant \left [ x \right ]+1
Vế sau dấu'=' xảy ra khi nào vậy

bạn này bắt bẻ quáX_X,mặc dù không xảy ra nhưng cũng không ảnh hưởng kết quả

[TrauBo]

Mình giải bằng đại số bình thường thôi,min thì mình có cách giải khác,max thì giống như cách các bạn,các bạn xem giùm mình :D
Ta có 1+xy+yz+2zx=(x+z)^{2}+(x+z)y+y^{2}=(x+z+\frac{y}{2 })^{2}+\frac{3y^{2}}{4}\geq0
Suy ra xy+yz+2zx\geq-1
Dấu = xảy ra khi y=0,x=\frac{1}{\sqrt{2}},z=-\frac{1}{\sqrt{2}}

[Ispectorgadget]

Bài 3 : Cách làm khác .
0\leq (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\geq \frac{-1}{2}
Lại có: \frac{a^2+c^2}{2}\geq -ac\Rightarrow ac\geq -\frac{a^2+c^2}{2}
Do đó: A\geq -\frac{1}{2}-\frac{a^2+c^2}{2}
a^2+c^2\leq a^2+b^2+c^2=1
Suy ra được -\frac{1}{2}(a^2+c^2)\geq-\frac{1}{2}
Do đó: A \geq -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1
Dấu "=" xảy ra khi
\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = 0 \\
a^2 + b^2 + c^2 = 1 \\
b = 0 \\
a + c = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\
c = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\
b = 0 \\
\end{array} \right.