Ảnh liên tục của tập hoàn toàn bị chặn

[neo_hv]

Trong không gian mêtric X. Cho hàm f: X \rightarrow X liên tục đều. A là tập hoàn toàn bị chặn. chứng minh f(A) hoàn toàn bị chặn.
Các bạn làm giúp mình với. Mình làm nhưng không tin tưởng vào lời giải của mình lắm

[Carles Puyol]

Bạn cứ trình bày lời giải của bạn đi, vì mình thấy bài này khá hiển nhiên nhờ vào giả thiết liên tục đều.

[neo_hv]

Mình làm bừa thôi. Do A là tập hoàn toàn bị chặn nên ta có:
A=\bigcup_{1}^{\infty }B(x_{i},r)
do f liên tục đều nên ta có
f(B(x_i,r))=B(y_i,\varepsilon )vớif(x_i)=y_i
từ đó suy ra
f(A)=\bigcup_{1}^{\infty } f(B(x_i,r))=\bigcup_{1}^{\infty }B(y_i,\varepsilon )
suy ra f(A) hoàn toàn bị chặn
sau đó về nghĩ lại mình thấy bài trên giải chưa đúng thì phảikhông biết nữa. Không có định lí nào nói là có thể làm như vậy. Có lẽ phải làm theo tập compact và sử dụng hausdoff thì có vẻ đúng hơnb-)
Các bạn cho ý kiến

[99]

Bạn nên viết cẩn thận hơn, những cái dấu bằng ở trên là không đúng, mà phải là \subset. Hai nữa, không gian metric chưa có tính đầy đủ thì chưa sử dụng được định lý Hausdorff về tiêu chuẩn compact của một tập. Tất nhiên bạn có thể làm đầy không gian lên rồi giải bài toán tương tự với tập compact : ảnh liên tục của một tập compact là compact. Nhưng thế thì tự làm khó thêm bài toán.

[tuan119]

Trong không gian mêtric X. Cho hàm f: X \rightarrow X liên tục đều. A là tập hoàn toàn bị chặn. chứng minh f(A) hoàn toàn bị chặn.

Bài này là Đề thi Cao học ĐHSPHN cách đây tầm $3$ tuần. :matrix:

+/ Vì $f$ là liên tục đều nên ta có:
$\forall \epsilon >0, \exists \delta>0, \forall x_\delta,x'_\delta: d(x_\delta,x'_\delta)<\delta \implies \rho (f(x_\delta),f(x'_\delta))< \epsilon $

+/ Vì $A$ là hoàn toàn bị chặn nên:
$\forall \delta>0$, tồn tại hữu hạn $x_1, x_2, \ldots ,x_n$ thỏa:
$\bf{A} \subset\bigcup_{i=1}^{n}\bf B(x_i;\delta )$

+/ Để chứng minh $\bf f(A)$ là hoàn toàn bị chặn, ta đi kiểm chứng lại:

$\forall \epsilon >0, \bf {f(A)} \subset \bigcup_{i=1}^{n}\bf B(f(x_i);\epsilon )$

[gakon001]

Mấy huynh cho em hỏi tập hoàn toàn bị chặn định nghĩa như thế nào vậy?

[tuan119]

May quá, mình vừa tìm được: :))
[Only registered and activated users can see links]