Đề thi tuyển sinh vào trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2011 vòng 2

[nguyenthang]

Đề thi tuyển sinh vào trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2011
Môn thi Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1. Cho
$a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt 2}{8}, $

1. Chứng minh $4a^2+\sqrt 2a-\sqrt 2=0 $.

2. Tính giá trị của biểu thức $S=a^2+\sqrt{a^4+a+1} $.


Câu 2.
1. Giải hệ phương trình

$\begin{cases}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y.\end{cases} $

2. Cho hai số hữu tỉ $a,b $ thỏa mãn đẳng thức

$a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b+1=0. $

Chứng minh rằng $1-ab $ là bình phương của một số hữu tỉ.


Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên tố $p=a^2+b^2+c^2 $, với $a,b,c $ là các số nguyên dương sao cho $a^4+b^4+c^4 $ chia hết cho $p $.

Câu 4. Cho tam giác $ ABC $ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O) $, $BE,CF $ là các đường cao. Các tiếp tuyến tại $B $ và $C $ của đường tròn $(O) $ cắt nhau tại $S $, các đường thẳng $BC $ cắt $SO $ tại $M $.

1. Chứng minh $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BS}{ME} $. Tính $BK $.
2. Chứng minh rằng $\triangle AME $ đồng dạng với $\triangle ABS $.
3. Goi $N $ là giao điểm của $AM $ và $EF $, $P $ là giao điểm của $AF $ và $BC $. Chứng minh $NP\perp BC $.


Câu 5. Trong một hộp có chứa $2011 $ viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu), trong đó có $655 $ viên bi màu đỏ, $655 $ viên bi màu xanh, $656 $ viên bi màu tím, $45 $ viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng(mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp $178 $ viên bi bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất $45 $ viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp $177 $ viên bi bất kỳ thì kết luận của bài toán còn đúng không ?

--------------Hết--------------

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi nguyenthang

2. Cho 2 số hữu tỉ a, b thỏa mãn đẳng thức:
$\[{a^3}b + a{b^3} + 2{a^2}{b^2} + 2a + 2b + 1 = 0\] $.
Chứng minh 1-ab là bình phương của 1 số hữu tỉ

$1-ab=(1+\frac{1}{a+b})^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Sao bài 3 số học kia mình lại ra đáp số là tồn tại vô hạn p nhở

Từ giả thiết dễ có $A=\sum a^2b^2 $ chia hết cho p (1)

Lại thấy ít nhất một trong 3 bđt sau đúng $ca\geq b^2,ba\geq c^2,bc \geq a^2 $ (Nếu cả 3 đều sai thì nhân vào thấy vô lý).Giả sử $ca\geq b^2 $ đúng.
Từ (1) ta có $p|A-b^2.p=A-b^2.(a^2+b^2+c^2)=c^2a^2-b^4=(ca-b^2)(ca+b^2) $ Mà p là nguyên tố nên $p|ca-b^2 $ (*) hoặc $p|ca+b^2 $ (**)
1.Dễ thấy (**) vô lý vì $p>ca+b^2 \neq 0 $
2.Còn (*) có thể xảy ra khi $ca=b^2 $ khi đó $p=a^2+c^2+ac $ luôn là ước của $(a^2+c^2-ac)(c^2+a^2+ac)=(a^2+c^2)^2-(ac)^2=a^4+b^4+a^2c^2=a^4+b^4+c^4 $

Do đó chỉ cần tim p có dạng $a^2+c^2+ac $ là bài toán được giải quyết.

Định lý tựa Fermat-Euler:Số nguyên tố $p $ có dạng $a^2+c^2+ac $ với $a,c $ nguyên dương khi và chỉ khi $p =3 $ hoặc $p=3k+1 $.
Chứng minh dựa trên kiến thức về thặng dư bậc 2.Quan trọng là nó có chiều ngược lại.

Rõ ràng có vô số $p $ như vậy.Và T khẳng định định lý trên hoàn toàn đúng,có ai thấy lỗi sai ở phần lý luận bên trên ko?

Và ngay cả khi T làm sai thì ở bài này chỉ cần $p=a^2+c^2+ac $ là thỏa mãn bài toán rồi,mà số các số nguyên tố như vậy là vô hạn và cm nó hình như vượt quá kt THCS!!!

Ai có lời giải không cho mình tham khảo với?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi nguyenthang

Câu 2:
1. Giải hệ pt: $\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + \frac{{2xy}}{{x + y}} = 1\\
\sqrt {x + y} = {x^2} - y
\end{array} \right.\] $

Câu Hệ phương trình
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pgviethung]

Hi, chào Thanh,
không mất tổng quát, giả sử $a\geq b \geq c $; Tương tự như Thanh làm, ta có $ab=c^2 $, vậy buộc phải có a=b=c.Suy ra a=b=c=1.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[math213]

Mình định đưa lên đầu Topic nhưng không sửa được, Bạn nào đưa lên đầu để mọi người tiện thảo luận.

Đề thi tuyển sinh vào trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2011
Môn thi Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1. Cho
$a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt 2}{8}, $

1. Chứng minh $4a^2+\sqrt 2a-\sqrt 2=0 $.

2. Tính giá trị của biểu thức $S=a^2+\sqrt{a^4+a+1} $.


Câu 2.
1. Giải hệ phương trình

$\begin{cases}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y.\end{cases} $

2. Cho hai số hữu tỉ $a,b $ thỏa mãn đẳng thức

$a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b+1=0. $

Chứng minh rằng $1-ab $ là bình phương của một số hữu tỉ.


Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên tố $p=a^2+b^2+c^2 $, với $a,b,c $ là các số nguyên dương sao cho $a^4+b^4+c^4 $ chia hết cho $p $.

Câu 4. Cho tam giác $ ABC $ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O) $, $BE,CF $ là các đường cao. Các tiếp tuyến tại $B $ và $C $ của đường tròn $(O) $ cắt nhau tại $S $, các đường thẳng $BC $ cắt $SO $ tại $M $.

1. Chứng minh $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BS}{ME} $. Tính $BK $.
2. Chứng minh rằng $\triangle AME $ đồng dạng với $\triangle ABS $.
3. Goi $N $ là giao điểm của $AM $ và $EF $, $P $ là giao điểm của $AF $ và $BC $. Chứng minh $NP\perp BC $.


Câu 5. Trong một hộp có chứa $2011 $ viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu), trong đó có $655 $ viên bi màu đỏ, $655 $ viên bi màu xanh, $656 $ viên bi màu tím, $45 $ viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng(mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp $178 $ viên bi bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất $45 $ viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp $177 $ viên bi bất kỳ thì kết luận của bài toán còn đúng không ?

--------------Hết--------------

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi pgviethung

Hi, chào Thanh,
không mất tổng quát, giả sử $a\geq b \geq c $; Tương tự như Thanh làm, ta có $ab=c^2 $, vậy buộc phải có a=b=c.Suy ra a=b=c=1.

uh.Em quên mất 1 điều là có vô hạn p có dạng $a^2+c^2+ac $ nhưng mà $ac $ lại phải bằng $b^2 $.Dơ hơi 2 lần trong một ngày
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kém Toán]

Nguyên văn bởi math213

Mình định đưa lên đầu Topic nhưng không sửa được, Bạn nào đưa lên đầu để mọi người tiện thảo luận.

Đề thi tuyển sinh vào trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội năm 2011
Môn thi Toán học
(Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài 150 phút

Câu 1. Cho
$a=\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}}-\frac{\sqrt 2}{8}, $

1. Chứng minh $4a^2+\sqrt 2a-\sqrt 2=0 $.

2. Tính giá trị của biểu thức $S=a^2+\sqrt{a^4+a+1} $.


Câu 2.
1. Giải hệ phương trình

$\begin{cases}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^2-y.\end{cases} $

2. Cho hai số hữu tỉ $a,b $ thỏa mãn đẳng thức

$a^3b+ab^3+2a^2b^2+2a+2b+1=0. $

Chứng minh rằng $1-ab $ là bình phương của một số hữu tỉ.


Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên tố $p=a^2+b^2+c^2 $, với $a,b,c $ là các số nguyên dương sao cho $a^4+b^4+c^4 $ chia hết cho $p $.

Câu 4. Cho tam giác $ ABC $ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O) $, $BE,CF $ là các đường cao. Các tiếp tuyến tại $B $ và $C $ của đường tròn $(O) $ cắt nhau tại $S $, các đường thẳng $BC $ cắt $SO $ tại $M $.

1. Chứng minh $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{BS}{ME} $. Tính $BK $.
2. Chứng minh rằng $\triangle AME $ đồng dạng với $\triangle ABS $.
3. Goi $N $ là giao điểm của $AM $ và $EF $, $P $ là giao điểm của $AF $ và $BC $. Chứng minh $NP\perp BC $.


Câu 5. Trong một hộp có chứa $2011 $ viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu), trong đó có $655 $ viên bi màu đỏ, $655 $ viên bi màu xanh, $656 $ viên bi màu tím, $45 $ viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng(mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp $178 $ viên bi bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất $45 $ viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp $177 $ viên bi bất kỳ thì kết luận của bài toán còn đúng không ?

--------------Hết--------------

3.

$a^4+b^4+c^4 \vdots a^2+b^2+c^2 \rightarrow ab+bc+ca \vdots a^2+b^2+c^2 \rightarrow ab+bc+ca = k(a^2+b^2+c^2) \rightarrow k = 1 \rightarrow a = b = c $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi Kém Toán

3.

$a^4+b^4+c^4 \vdots a^2+b^2+c^2 \rightarrow ab+bc+ca \vdots a^2+b^2+c^2 \rightarrow ab+bc+ca = k(a^2+b^2+c^2) \rightarrow k = 1 \rightarrow a = b = c $

Tại sao $ab+bc+ca \vdots a^2+b^2+c^2 $ thế cậu?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kém Toán]

Nguyên văn bởi math213

Mình định đưa lên đầu Topic nhưng không sửa được, Bạn nào đưa lên đầu để mọi người tiện thảo luận.

[CENTER][B][SIZE="4"]

Câu 5. Trong một hộp có chứa $2011 $ viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu), trong đó có $655 $ viên bi màu đỏ, $655 $ viên bi màu xanh, $656 $ viên bi màu tím, $45 $ viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng(mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp $178 $ viên bi bất kỳ. Chứng minh rằng trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất $45 $ viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp $177 $ viên bi bất kỳ thì kết luận của bài toán còn đúng không ?

--------------Hết--------------

Giả sử chỉ có $\leq 44 $ viên mỗi loại . Suy ra số viên bi màu vàng và trắng còn lại ít nhất là 46 viên ( vô lý )
177 = 44+44+44+45
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi nguyenthang

Câu 3. Tìm tất cả các số nguyên tố $p=a^2+b^2+c^2 $, với $a,b,c $ là các số nguyên dương sao cho $a^4+b^4+c^4 $ chia hết cho $p $.

Bài này nhớ đã thấy trên math.vn . Thật vậy

Nguyên văn bởi puccatihon

xét $p=2, $ không thoả mãn
xét $p > 2 => p $ lẻ, giả sử $ a \ge b, a \ge c $

$(a^2+b^2+c^2)^2 \vdots p => (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \vdots p $

mặt khác $a^4+a^2b^2+a^2c^2 \vdots p $

do đó $(a^4-b^2c^2) \vdots p $, p nguyên tố nên $(a^2-bc) \vdots p $

hoặc $(a^2+bc) \vdots p $

mà $0 \le (a^2-bc)<(a^2+bc)<(a^2+b^2+c^2) => a^2=bc => a=b=c => p=3 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Kém Toán]

Nguyên văn bởi nvthanh1994

Tại sao $ab+bc+ca \vdots a^2+b^2+c^2 $ thế cậu?

$(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4+2(ab+bc+ca) \vdots a^2+b^2+c^2 $
mà $a^2+b^2+c^2 $ nguyên tố lẻ nên suy ra điều đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi Kém Toán

$(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4+2(ab+bc+ca) $

Bác xem lại cái
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

Nguyên văn bởi magic.

Bác xem lại cái

Chú cho anh xin cái link Mét Vờ Nờ bài 3 cái.Cái đề sp mà chú lại giải:
Đã thấy tại Math.vn,Thật vậy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

$a^4+b^4+c^4 $ chia hết cho $ a^2+b^2+c^2 $
$\rightarrow 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) $ chia hết cho $ a^2+b^2+c^2 $
$\rightarrow (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=k(a^2+b^2+c^2) $ với k là số nguyên dương
sử dụng bất đẳng thức sau:
Với 2 số nguyên dương $x;y $ ta có:$x^2y^2+1\le x^2+y^2 $
Từ đó:$k(a^2+b^2+c^2)+3\le 2(a^2+b^2+c^2) $
$\rightarrow k=1 $
$\rightarrow a=b=c=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]