Đề thi chọn học sinh giỏi Hà Tĩnh năm học 2012-2013

[vinh1b]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012  2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. a) Giải phương trình: $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$
Bài 2. a)Cho hàm số $y = \frac{2x}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Tìm hai điểm $A, B$ trên $(C)$ sao cho các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị tham số m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:
$$x+\sqrt{4-x^2}= m +x. \sqrt{4-x^2}$$.
Bài 3. Xác định các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$$ cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$$.
Bài 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh $AB=AC=SA=SB=a$. Tìm độ dài cạnh $SC$ sao cho khối $S.ABC$ có thể tích $V = \frac{a^3}{8}$.
Bài 5. Cho $a, b, c > o $ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$

_______________ Hết _______________

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenThanhThi]

1.a Sử dụng lượng liên hợp phương trình bài cho tương đương
$3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}-2(x-3)=0$

tương đương $\dfrac{8(x-3)}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2(x-3)=0$
tương đương $ \Leftrightarrow x-3=0$ hoặc $ 3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LSG]

Nguyên văn bởi vinh1b

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012  2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. a) Giải phương trình: $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$
Bài 2. a)Cho hàm số $y = \frac{2x}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Tìm hai điểm $A, B$ trên $(C)$ sao cho các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị tham số m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:
$$x+\sqrt{4-x^2}= m +x. \sqrt{4-x^2}$$.
Bài 3. Xác định các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$$ cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$$.
Bài 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh $AB=AC=SA=SB=a$. Tìm độ dài cạnh $SC$ sao cho khối $S.ABC$ có thể tích $V = \frac{a^3}{8}$.
Bài 5. Cho $a, b, c > o $ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$

_______________ Hết _______________

1b)Từ $ x^3+xy^2+2y^3=0$ bắt được nhân tử chung $x+y$
2b) c1: Cô lập $m$ đạo hàm lập bảng biến thiên để lấy kết quả!
c2: Đặt: $u=x;v=\sqrt{4-x^2}$ đưa về phương trình: $(u+v)^2-2(u+v)+2m-4=0$
2a) bla bla $(0;0)$ và $(-4;4)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Nguyên văn bởi NguyenThanhThi

1.a Sử dụng lượng liên hợp phương trình bài cho tương đương
$3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}-2(x-3)=0$

tương đương $\dfrac{8(x-3)}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2(x-3)=0$
tương đương $ \Leftrightarrow x-3=0$ hoặc $ 3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4 $

Bài này có thêm một nghiệm rất lẻ là $x= \frac{11-3\sqrt{5}}{2}$
Có thêm phương pháp nưa là đặt đư về hệ không hoàn toàn.
------------------------------

Nguyên văn bởi LSG

1b)Từ $ x^3+xy^2+2y^3=0$ bắt được nhân tử chung $x+y$
2b) Cô lập $m$ đạo hàm lập bảng biến thiên để lấy kết quả!

Chú làm cho hết chứ đoạn sau vẫn hay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[NguyenThanhThi]

Nguyên văn bởi vinh1b

Bài này có thêm một nghiệm rất lẻ là $x= \frac{11-3\sqrt{5}}{2}$

Đúng rồi bạn là nghiệm của phương trình hai đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TBN_146]

Nguyên văn bởi vinh1b

Bài 5. Cho $a, b, c > o $ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$

Đặt

$$x=\frac{a}{bc},y=\frac{b}{ca},z=\frac{c}{ab}$$

thì

$x+y+z=3$

Suy ra

$$a=\sqrt{\frac{1}{yz}},b=\sqrt{\frac{1}{xz}},c=\s qrt{\frac{1}{xy}}$$

Thay vào ta có

$$VT=\sum \sqrt{\frac{\sqrt{yz}}{8+yz}}$$

Sử dụng các bất đẳng thức $AM GM$ và $Cauchy Schwarz$ ta có

$$VT=\sum \sqrt{\frac{\sqrt{yz}}{8+yz}}\leq \sum \sqrt{\frac{1+yz}{2(8+yz)}}\leq \sqrt{\frac{3}{2}\sum \frac{1+yz}{8+yz}}$$

$$\sum \frac{1+yz}{8+yz}=3-7\sum \frac{1}{8+yz}\leq 3-\frac{63}{24+xy+yz+xz}\leq 3-\frac{63}{24+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}=\frac{2}{3}$$

Suy ra

$$VT\leq \sqrt{\frac{2.3}{3.2}}=1$$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kachiuxa14]

Nguyên văn bởi vinh1b

[CENTER]
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất cho ta $ x=-y$. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
$$\sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4x^2-3x $$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^4-x^2}-x=4(x^2-x-1)$$

$$\Rightarrow \dfrac{x^4-x^3-x^2}{\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2}=4(x^2-x-1)$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-x-1=0\\ 4\left(\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2\right)=x^2\end{array}\right.$$
Chú ý:
$$ 4\left(\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2\right)=x^2 $$

$$\Leftrightarrow \left(2\sqrt[3]{x^4-x^2}+x\right)^2+2x^2=0$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Nguyên văn bởi vinh1b

[CENTER]
Bài 5. Cho $a, b, c > o $ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$

Đúng như thầygiáocht đây là một bất đẳng thức rất lỏng:
Ta có $$3P^2 \le \frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+1}+ \frac{c}{8c^2+1}$$
Dùng AM_GM cho $$\frac{a}{8a^2+1} \le \frac{1}{9\sqrt[9]{a^7}}
\le \frac{1}{9}(\frac{7}{a}+2)$$.
Vậy $$3P^2\le \frac{7}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a})+ \frac{6}{9}$$
Ta lại có: $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a} = \frac{ab+bc+ca}{abc} \le \frac{a^2+b^2+c^2}{abc} =3$$

Từ đó ta có ĐPCM.
------------------------------

Nguyên văn bởi pủm chíu.

Còn bài 3

Bài này hay.
Ta viêt lại thế này: $$\cos\frac{B-A}{2} + \cos\frac{C-A}{2} + \cos\frac{3A+\pi}{2}=\frac{3}{2}$$
Đây là bài toán quen thuộc.

Đây chính là phép biến đổi tuyến tính trong tam giác.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi kachiuxa14

Từ phương trình thứ nhất cho ta $ x=-y$. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
$$\sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4x^2-3x $$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^4-x^2}-x=4(x^2-x-1)$$

$$\Rightarrow \dfrac{x^4-x^3-x^2}{\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2}=4(x^2-x-1)$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-x-1=0\\ 4\left(\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2\right)=x^2\end{array}\right.$$
Chú ý:
$$ 4\left(\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2\right)=x^2 $$

$$\Leftrightarrow \left(2\sqrt[3]{x^4-x^2}+x\right)^2+2x^2=0$$

Từ phương trình$$\sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4x^2-3x $$Ta chia hai vế cho $x$ sẽ đơn giản hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nghiatinh2106]

[QUOTE=pủm chíu.;179061]Còn bài 3, bài 4 mọi người xơi luôn đê.[/]
bài 3 đơn giản quá. Sử dụng ẩn phụ và kiến thức tam thức hoặc hàm số là ok. Bài 5: Chỉ cần phát hiện hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) là trung điểm BC và tam giác SBC là tam giác vuông tại S là xơi được.
------------------------------

Nguyên văn bởi kachiuxa14

Từ phương trình thứ nhất cho ta $ x=-y$. Thế vào phương trình thứ hai ta được:
$$\sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4x^2-3x $$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^4-x^2}-x=4(x^2-x-1)$$

$$\Rightarrow \dfrac{x^4-x^3-x^2}{\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2}=4(x^2-x-1)$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-x-1=0\\ 4\left(\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2\right)=x^2\end{array}\right.$$
Chú ý:
$$ 4\left(\sqrt[3]{(x^4-x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^4-x^2}+x^2\right)=x^2 $$

$$\Leftrightarrow \left(2\sqrt[3]{x^4-x^2}+x\right)^2+2x^2=0$$

Sau khi thay y = -x vào phương trình thứ 2 ta chỉ cần chia hai vế phương trình cho x là đưa được về phương trình bậc 3.ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[maxmin]

Nguyên văn bởi vinh1b

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012  2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh $AB=AC=SA=SB=a$. Tìm độ dài cạnh $SC$ sao cho khối $S.ABC$ có thể tích $V = \frac{a^3}{8}$.

_______________ Hết _______________

Hình vẽ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Raul Chavez]

Xin đáp án chính thức

hoặc của ai đó giải cả 5 bài

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gravita]

Nguyên văn bởi Raul Chavez

Xin đáp án chính thức

hoặc của ai đó giải cả 5 bài

Mọi người dự đoán thang điểm thế nào nhỉ!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Nguyên văn bởi Raul Chavez

Xin đáp án chính thức

hoặc của ai đó giải cả 5 bài

Khi nào chấm đẫ mới được up lên.

Thang điểm:

Câu 1: 6đ= 3+3
Câu 2: 6đ=3+3
Câu 3: 3đ
Câu 4: 3đ.
Câu 5: 2đ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gravita]

Nguyên văn bởi vinh1b

Khi nào chấm đẫ mới được up lên.

Thang điểm:

Câu 1: 6đ= 3+3
Câu 2: 6đ=3+3
Câu 3: 3đ
Câu 4: 3đ.
Câu 5: 2đ.

Có chính xác không anh Vinh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]